Les suites numériques : méthode et exercices

Les suites sont au programme de Première et de Terminale, et présentes à presque chaque épreuve. Bonne nouvelle : les exercices se ramènent à un petit nombre de situations. Une fois la situation reconnue, la méthode est mécanique.

Reconnaître le type de suite

• Suite arithmétique : on ajoute toujours le même nombre. Le terme général s’écrit u(n) = u(0) + n·r.
• Suite géométrique : on multiplie toujours par le même nombre. Le terme général s’écrit u(n) = u(0)·qⁿ.
• Suite définie par récurrence : u(n+1) = f(u(n)). Là, pas de formule directe — c’est le cas le plus fréquent au Bac.

Le premier réflexe devant un énoncé est donc de vérifier si la différence ou le quotient de deux termes consécutifs est constant. Si oui, vous avez une formule explicite et l’exercice devient du calcul.

Le raisonnement par récurrence, sans hésitation

La récurrence sert à démontrer qu’une propriété est vraie pour tout entier n. Sa rédaction est un rituel : trois étapes, toujours les mêmes, toujours écrites.

1. Initialisation : vérifier la propriété au premier rang. Une ligne suffit, mais elle est obligatoire — l’oublier fait perdre le point de la question.
2. Hérédité : supposer la propriété vraie au rang n, puis la démontrer au rang n+1. Écrivez explicitement « supposons que… » pour que le correcteur voie l’hypothèse.
3. Conclusion : énoncer que la propriété est donc vraie pour tout n.

Erreur classique : dans l’hérédité, partir de la propriété au rang n+1 pour arriver à celle du rang n. Le sens du raisonnement compte. On part toujours de l’hypothèse pour aller vers la conclusion.

Étudier la monotonie

Trois techniques, à choisir selon la forme de la suite. Étudier le signe de u(n+1) − u(n) : c’est la méthode par défaut. Comparer le quotient u(n+1)/u(n) à 1 : pratique pour les suites à termes strictement positifs, notamment géométriques. Étudier la fonction associée : valable seulement si la suite s’écrit u(n) = f(n), pas si elle est définie par récurrence.

Conclure sur la convergence

Le théorème de la limite monotone est l’outil central : une suite croissante et majorée converge, une suite décroissante et minorée converge. Attention, il donne l’existence de la limite, pas sa valeur. Pour la valeur, on passe généralement à la limite dans la relation de récurrence, ce qui donne une équation dont la limite est solution.

Pour les suites géométriques, tout se joue sur la raison q : si sa valeur absolue est strictement inférieure à 1, la suite converge vers 0 ; si elle est strictement supérieure à 1, la suite diverge. C’est un résultat à connaître sans réfléchir.

Un exercice type pour s’entraîner

Soit la suite définie par u(0) = 1 et u(n+1) = 0,5·u(n) + 2. Démontrez par récurrence que la suite est majorée par 4, montrez qu’elle est croissante, déduisez-en qu’elle converge, puis déterminez sa limite en passant à la limite dans la relation de récurrence. Cet unique exercice mobilise les quatre méthodes de cet article — si vous le traitez seul et proprement, les suites ne vous poseront plus de problème.